>>Математика: Преобразование подобия

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

ГЕОМЕТРИЯ
Планы-конспекты уроков для 10 классов

Урок 50

Тема. Преобразование подобия и его свойства

Цель урока: формирование знаний учащихся о сходстве пространственных фигур, изучение свойств преобразования подобия и применение их к решению задач.

Оборудование: модели куба и тетраэдра.

Ход урока

И. Проверка домашнего задания

1. Коллективное обсуждение контрольных вопросов № 9-11 и решения задач № 23-25 (1).

2. Математический диктант.

При параллельном переносе точка А переходит в точку В: вариант 1 - А (6; 7; 8), В (8; 2; 6 ); вариант 2 - A (2; 1; 3), В(1; 0; 7). Запишите:

1) формулы параллельного переноса;

2) координаты точки С, которая образовалась в результате параллельного переноса точки О (0; 0; 0);

3) координаты точки D , которая образовалась в результате параллельного переноса точки С;

4) координаты точки F , в которую перешла точка M (1; 1; 1 ) в результате параллельного переноса;

5) формулы параллельного переноса, при котором точка В перейдет в точку А.

Ответ. Вариант 1. 1) х1 = х + 2, у1 = у - 5, z1 = z - 2; 2) С(2; -5; -2); 3) D (4; -10; -4); 4) F (-1; 6; 3); 5) x 1 = х - 2, у1 = у + 5, z 1 = z + 2.

Вариант 2.1) x 1 = х - 1, y 1 = y -1, z 1 = z + 4 ; 2) C (-1; -1; 4); 3) D (-2; -2, -8); 4) F (2; 2; -3); 5) x 1 = x + 1, y 1 = y + 1, z 1 = z - 4.

II. Восприятие и осознание нового материала

Преобразование подобия в пространстве

Преобразование фигуры F в фигуру F 1 называется преобразованием подобия, если произвольные точки X и Y фигуры F переходят в точки X 1 и Y 1 фигуры F1 такие, что Х1Y 1 = k XY .

Преобразование подобия в пространстве, как и на плоскости, переводящее прямые в прямые, півпрямі в півпрямі, отрезки в отрезки и сохраняет углы между півпрямими.

Две фигуры в пространстве называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия.

Простейшим преобразованием подобия в пространстве является гомотетія.

Гомотетія относительно центра О с коэффициентом k - это преобразование, которое переводит произвольную точку Х в точку X1 луча ОХ, такую, что ОХ1 = k OX . (рис. 270).

Преобразования гомотетії в пространстве переводит любую плоскость, не проходящую через центр гомотетії, в параллельную плоскость (или в себя, когда k = 1).

Доказательство проводится так, как это сделано в учебнике.

Решение задач

1. Что представляет собой фигура, подобная куба с коэффициентом подобия: а) k = 2; б) k = ; в) k = 1?

2. Постройте фигуру, гомотетичну данном тетраедру ABCD относительно точки S (рис. 271) с коэффициентом гомотетії: а) k = 2; б) k = ; в) k = 1.

3. В какую фигуру переходит плоскость при гомотетії, если эта плоскость проходит через центр гомотетії?

4. Постройте фигуру, в которую перейдет куб при гомотетії относительно точки S (рис. 272) с коэффициентом гомотетії.

5. Треугольник АВС гомотетичний треугольник А1 В1 С1 относительно начала координат с коэффициентом гомотетії k = 2. Найдите координаты вершин треугольника А1 В1 С1 , если А (1 ; 0; 0), В (0; 3; 0), С (0; 0; - 3).

6. Задача № 29 из учебника (с. 56).

III . Домашнее задание

§4, п. 30 ; контрольные вопросы № 12-13; задача № 28 (с. 56).

IV. Подведение итога урока

Вопрос к классу

1) Что такое преобразование подобия? Перечислите его свойства.

2) Какое преобразование называется гомотетією с центром О и коэффициентом А?

3) В треугольной пирамиде SABC проведено сечение MNK так, что SM = 2MA , SK = 2KC , SN = 2NB (рис. 273). Укажите, какие из приведенных утверждений правильные, а какие - неправильные:

а) при гомотетії с центром S и коэффициентом точка М переходит в точку А;

б) при гомотетії с центром S и коэффициентом плоскость АВС переходит в плоскость MNK ;

в) AB = MN ;

г) при гомотетії с центром S и коэффициентом - пирамида SABC переходит в пирамиду SMNK .

4) В кубе ABCDA1 B1 C1 D1 проведено сечение BDC 1 и MNK , где точки М, N , К - середины ребер СС1 , ВС, DC (рис. 234). Укажите, какие из приведенных утверждений правильные, а какие - неправильные:

а) при гомотетії с центром С и коэффициентом 0,5 точка М переходит в точку C1 ;

б) при гомотетії с центром С и коэффициентом 2 плоскость MNK переходит в плоскость BDC1 ;

в) BD = 2 NK ;

г) площадь сечения BDC 1 в 4 раза больше площади сечения MNK.

Презентация по геометрии на тему «Подобие пространственных фигур» Подготовил Ученик 10 «Б» класса Куприянов Артем

Преобразование фигуры F называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз, т. е. для любых двух точек X и У фигуры F и точек X", У фигуры F", в которые они переходят, X"Y" = k * XY . Определение: Преобразование подобия в пространстве Фигура называется подобной фигуре F , если существует подобие пространства, отображающая фигуру F на фигуру Определение:

Свойства подобия 1) При подобии прямые переходят в прямые, плоскости, отрезки и лучи отображаются также в плоскости, отрезки и лучи соответственно. 2) При подобии сохраняется величина угла (плоского и двухгранного), параллельные прямые(плоскости) отображаются как параллельные прямые (плоскости), перпендикулярная прямая и плоскость – на перпендикулярные прямую и плоскость. 3) Из сказанного выше следует, что подобном преобразовании подобия пространства образом любой фигуры является «похожая» на нее фигура, то есть фигура, имеющая такую же форму, что и отображаемая (данная) фигура, но отличающаяся от данной лишь своими «размерами»

Основные свойства подобных фигур Свойство транзитивности. Если фигура F1 подобна фигуре F2 и фигура F2 подобна фигуре F3 , то фигура F1 подобна фигуре F3. Свойство симметричности. Если фигура F1 подобна фигуре F2 , то и фигура F2 подобна фигуре F1 Свойство рефлективности. Фигура подобна сама себе при коэффициенте подобия, равном 1 (при k=1)

Замечательным является тот факт, что все фигуры одного и того же класса обладают одними и теми же свойствами с точностью до подобия (имеют одинаковую форму, но отличаются размерами: отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, а отношение объемов – кубу коэффициента подобия) Три свойства отношения подобия фигур позволяют разбить множество всех фигур пространства на подмножества – попарно непересекающиеся классы подобных между собой фигур: каждый класс представляет собой множество всех подобных друг другу фигур пространства. При этом любая фигура пространства принадлежит одному и только одному из этих классов. Множество кубов Пример: Множество правильных тетраэдров

Гомотетия - один из видов преобразований подобия. Определение. Гомотетией пространства с центром О и коэффициентом называется преобразование пространства, при котором любая точка М отображается на такую точку М ’ , что = k Гомотетию с центром О и коэффициентом k обозначают При k=1 гомотетия является тождественным преобразованием, а при k=-1 – центральной симметрией с центром а центре гомотетии

Примеры гомотетии с центром в точке О

Формулы гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом k Свойства гомотетии 1) При гомотетии величина плоского и двухгранного угла сохраняется 2) При гомотетии с коэффициентом k расстояние между точками изменяется в 3) Отношение площадей гомотетических фигур равно квадрату коэффициента гомотетии. 4) Отношение объемов гомотетических фигур равно модулю куба коэффициента гомотетии 5) Гомотетия с положительным коэффициентом не меняет ориентации пространства, а с отрицательным коэффициентом – меняет.

6 свойство (с доказательством) Преобразование гомотетии в пространстве переводит любую плоскость, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную плоскость (или в себя при k=1). Действительно, пусть О - центр гомотетии и α - любая плоскость, не проходящая через О. Возьмем любую прямую АВ в плоскости α . Преобразование гомотетии переводит точку А в точку А" на луче OA , а точку В в точку В ’ на луче OB, причем - коэффициент гомотетии. Отсюда следует подобие треугольников АОВ и А"ОВ ’ . Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов ОАВ и ОА"В" , а значит, параллельность прямых АВ и А"В". Возьмем теперь другую прямую АС в плоскости. Она при гомотетии перейдет в параллельную прямую А"С". При рассматриваемой гомотетии плоскость перейдет в плоскость " проходящую через прямые А"В", А"С. Так как А"В‘ ll АВ и А ’ С ’ ll АС, то по признаку параллельности плоскостей плоскости и параллельны, что и требовалось доказать. Дано α O – центр гомотетии Доказать α II α ’ Доказательство

Кино в кинотеатрах

Примеры

• Каждая гомотетия является подобием.
• Каждое движение (в том числе и тождественное) также можно рассматривать как преобразование подобия с коэффициентом k = 1 .

Подобные фигуры на рисунке имеют одинаковые цвета.

Связанные определения

Свойства

В метрических пространствах так же, как в n -мерных римановых , псевдоримановых и финслеровых пространствах подобие определяется как преобразование, переводящее метрику пространства в себя с точностью до постоянного множителя.

Совокупность всех подобий n-мерного евклидова, псевдоевклидова, риманова, псевдориманова или финслерова пространства составляет r -членную группу преобразований Ли , называемой группой подобных (гомотетических) преобразований соответствующего пространства. В каждом из пространств указанных типов r -членная группа подобных преобразований Ли содержит (r − 1) -членную нормальную подгруппу движений.

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Преобразование подобия" в других словарях:

преобразование подобия - Изменение характеристик моделируемого объекта посредством умножения его параметров на значения таких величин, которые преобразуют сходственные параметры, обеспечивая этим подобие и делая математическое описание, если оно имеется, тождественным… …

преобразование подобия - panašumo transformacija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. transformation of similitude vok. Ähnlichkeitstransformation, f; äquiforme Transformation, f rus. преобразование подобия, n pranc. conversion de similitude, f; transformation de… … Fizikos terminų žodynas

См Гомотетия … Большой энциклопедический политехнический словарь

преобразование подобия - Изменение количественных характеристик данного явления посредством умножения их на постоянные множители, преобразующие эти характеристики в соответствующие характеристики подобного явления … Политехнический терминологический толковый словарь

Преобразование - (в кибернетике) изменение значений переменных, характеризующих систему, например, превращение переменных на входе предприятия (живой труд, сырье и т.д.) в переменные на выходе (продукты, побочные результаты, брак). Это пример П … Экономико-математический словарь

преобразование (в кибернетике) - Изменение значений переменных, характеризующих систему, например, превращение переменных на входе предприятия (живой труд, сырье и т.д.) в переменные на выходе (продукты, побочные результаты, брак). Это пример П. в ходе вещественного процесса. В… … Справочник технического переводчика

Замена одного математического объекта (геометрической фигуры, алгебраической формулы, функции и др.) аналогичным объектом, получаемым из первого по определенным правилам. Напр., заменяя алгебраическое выражение x2+4x+4 выражением (x+2)2,… … Большой Энциклопедический словарь

Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия

Одно из основных понятий математики, возникающее при изучении соответствий между классами геометрических объектов, классами функций и т.п. Например, при геометрических исследованиях часто приходится изменять все размеры фигур в одном и… … Большая советская энциклопедия

Я; ср. 1. к Преобразовать и Преобразоваться. П. училища в институт. П. сельского хозяйства. П. механической энергии в тепловую. 2. Коренное изменение, перемена. Крупные социальные преобразования. Заняться хозяйственными преобразованиями. ◁… … Энциклопедический словарь

Геометрия

Подобие фигур

Свойства подобных фигур

Теорема. Когда фигура подобна фигуре , а фигура - фигуре , то фигуры и подобные.
Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. Например, в подобных треугольниках ABC и :
; ; ;
.

Признаки подобия треугольников

Теорема 1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам второго треугольника, то такие треугольники подобны.
Теорема 2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам второго треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
Теорема 3. Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам второго треугольника, то такие треугольники подобны.
Из этих теорем вытекают факты, которые являются полезными для решения задач.
1. Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него треугольник, подобный данному.
На рисунке .

2. У подобных треугольников соответствующие элементы (высоты, медианы, биссектрисы и т.д.) относятся как соответствующие стороны.
3. У подобных треугольников периметры относятся как соответствующие стороны.
4. Если О - точка пересечения диагоналей трапеции ABCD , то .
На рисунке в трапеции ABCD: .

5. Если продолжение бічих сторон трапеции ABCD пересекаются в точке K , то (см. рисунок).
.

Подобие прямоугольных треугольников

Теорема 1. Если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то они подобны.
Теорема 2. Если два катеты одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам второго прямоугольного треугольника, то эти треугольники подобны.
Теорема 3. Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе второго прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.
Теорема 4. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разбивает треугольник на два прямоугольных треугольника, подобные данному.
На рисунке .

Из подобия прямоугольных треугольников вытекает такое.
1. Катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:
; ,
или
; .
2. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:
, или .
3. Свойство биссектрисы треугольника:
биссектриса треугольника (произвольного) делит противоположную сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
На рисунке в BP - биссектриса .
, или .

Сходство равносторонних и равнобедренных треугольников

1. Все равносторонние треугольники подобные.
2. Если равнобедренные треугольники имеют равные углы между боковыми сторонами, то они подобны.
3. Если равнобедренные треугольники имеют пропорциональные основание и боковую сторону, то они подобны.